La roulette est constituée de 37 cases, allant de 0 à 36, de taille similaire, répartis sur un cylindre avec des cases alternant entre les couleurs rouge et noir, à l'exception du 0, qui est vert. Le tapis de jeu est généralement plus large, avec les cases pour les numéros 34, 35 et 36 dépourvues de cases adjacentes. Les mises sur les colonnes sont placées en bas à droite et à gauche du tapis, et la disposition des chiffres sur la roue suit un ordre spécifique.
II) La méthode Martingale consiste à jouer une chance simple, c'est-à-dire noir ou rouge ou pair et impair, en doublant sa mise après chaque perte jusqu'à ce que l'on gagne, a condition d'avoir des moyens infinis.
Qui n'a pas un jour, rêver d'imiter James bond dans un de ses films en étant un as des jeux de hasard au casino ? Mais James Bond est-il juste chanceux ou alors utilise-t-il suffisamment les probabilités pour établir une stratégie qui permet de gagner à tous les coups. Au Casino, les jeux sont multiples, le poker, les machines à sous, etc. Aujourd'hui, nous allons nous focaliser sur le jeu de la roulette, et tenter de répondre à la question suivante : "Peut-on gagner au jeu de la roulette ?"
Dans un premier temps, je vais vous expliquer le principe du jeu et puis ensuite, une stratégie de maximisation des chances, la martingale.
Pour notre présentation, on va se contenter d'expliquer le fonctionnement de la roulette anglaise, la plus courante, la roulette est constituée d'un disque découpée en 37 cases de même dimension, les cases sont numérotées de 0 à 36, 18 cases sont noires et les 18 autres rouges, la case numéro 0 est verte, les numéros ne sont pas disposées dans un ordre croissant ou décroissant mais sont répartis aléatoirement, après que les joueurs ont jouer leurs mises, le croupier lance une bille, le disque est mis en rotation, et la bille va s'arrêter aléatoirement sur une des cases. En fonction du pari fait part le joueur, ceux-ci vont récupérer, perdre ou augmenter leurs mises de départ. Plusieurs mises sont possibles, des mises simples, on peut parier pair ou impair, rouge ou noir par exemple, ou alors des mises multiple, un numéro donné, un carré, etc.
Pour miser, les joueurs doivent déposer des jetons sur le tapis de jeu en face de la roulette avant le lancement de la bille, c'est-à-dire, avant que le croupier n'annonce : "Rien ne va plus". Une mise simple rapporte 1 pour 1 misé, au contraire, une mise multiple rapporte en fonction du type de mise, par exemple, si on mise sur un numéro en particulier, le joueur gagner 35 pour une mise de 1, si la bille s'arrête sur 0, le joueur récupère la moitié de sa mise.
Pour simplifier notre problème, on va considérer que l'obtention du 0 nous fait perdre notre mise, après avoir eu le principe du jeu, on va établir une statégie pour gagner, après recherche, il se trouve que la méthode la plus connue, est la méthode dite de la Martingale, la méthode consiste a parier sur une chance simple, soit noir ou rouge par exemple, et a chaque fois que l'ont perd une mise, on rejoue et on double notre mise précedante, on reitère le processus jusqu'a gagner, par exemple, si on prend la cas d'une mise simple, si je mise 1€ sur le rouge, je perd, je rejoue donc, et cette fois ci, je mise 2€ sur le rouge, 2 x 1, je perd a nouveau, je rejoue donc et je mise cette fois si, 2 x 2, 4€ sur le rouge, je gagne, j'ai donc gagner 4€, moins mes pertes précedante, c'est a dire, 4 - 2 - 1 ce qui est égale à 1, avec cette méthode, je suis donc toujours sur de gagner à la fin, 1€.
Analysons mathématiquement cette stratégie en utilisant les probabilités, et notamment, les variables aléatoires, on note X, le gain du joueur (X : Gain du joueur), un rapide raisonnement et une modélisation par un arbre de probabilités nous permet de déterminer l'espérance de cette variable, soit égale a 1 (E(X) = 1), et donc favorable au joueur, mais cela suppose que le joueur peut miser à l'infini, ce qui n'est pas possible, essayons de déterminer avec cette stratégie, combien de parties doit-il jouer au plus pour être sur de gagner avec une probabilités supérieur ou égale à 99 % . On modélise par une variable aléatoire grand Z le problème, cette variable va compter au bout de combien de parties le joueur va gagner (X : Nombre de parties), on cherche donc à résoudre l'équation qui est écrite sur le support (Afficher une feuille avec cette formule : P(Z = 0.99), ""on trouve alors qu'il faut jouer au plus 7 parties (pour k >= 7), jouer 7 parties signifie miser à la fin, 1 x 2^^6, c'est a dire 64 €.""*1
*1 Comment avons nous déterminé le nombre de parties à jouer est au plus de 7 pour être sûr de gagner à 99% ?
Pour trouver cette valeur, on note Z la variable aléatoire qui compte le nombre de fois ou on doit jouer à la roulette avant de gagner, on modélise l'experience aléatoire avec un arbre de probabilité, on note D l'évènement ou le joueur perd, cette évènement est probabilité de 19 sur 37 (p(D) = 19/37), et D barre l'évènement ou le joueur gagner avec une probabilité de 18 sur 37, ce qui correspond au 18 cases rouges, on associe à chaque issue une valeur que peut prendre Z comprise entre 1 et l'infini, on cherche la loi de Z et en supposant mes tirages indépendant, on toruve que la probabilité de Z est égale à k 18 sur 37, la probabilité de gagner une fois, fois 19 sur 37 puissance k - 1, c'est-a-dire une défaite lors de tout les essais précedant.
Gagner au plus k parties se traduit par la formule suivante, on a donc une somme géométrique de raison 19 sur 37, on trouve donc que on a la formule suivante, on a ensuite une inéquation P de Z inférieur ou égale a k, supéerieur ou égale a 0,99, c'est a dire, on isole k, puis on utilise le logarithme népérien et on trouve enfin la formule qui permet d'obtenir k, et on trouve k, supérieur ou égale a 7
Comment avons nous calculer l'espérance de la variable Y ?
La varaible Y peut prendre 2 valeurs, 1, le gain du joueur quand il gagne, et -127 si le joueur perd à l'issue des 7 parties jouées, les épreuves étant indépendante, on a la formule suivante, donc en utilisant l'évènement contraire, on trouve que p de Y égal 1 est a peu près égal a 0,99, donc l'espérance de Y va donc être égal a 0,99 x 1 + 0,01 x (-127) ce qui nous fait a peu pres, -0,28, le jeu est défavorable au joueur et peut importe le nombre limites de parties que le joueur se décide de fixer, si au lieu de jouer 7 parties, on en joue au maximum n, le calcul devient le suivant, en développant, on obtient ceci, et donc on trouve que l'esperance de Y est égal a 1 - (38 sur 37) puissance n, l'esperance est donc toujours négative peu importe la valeur de n, car la suite obtenu est une suite décroissante. La probabilité de gagner une série en augmentant la mise maximale augmente mais au final, l'esperance diminue, donc cette strategie n'est jamais viable sur le long terme.
